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X(エックス)登場(4M62)

ゆとり教育が見直されて学習内容が増加することになりました。小6のパセリの教科書にも、教科書に掲載されていない増加部分は付属冊子になって配布されています。この増加によって、小6ではxとyが登場しました。

私は小学校教育に携わっているわけではないので、xとyを小6で扱うことになった経緯は知りません。中学で突然登場させるより、小学校の終わりで、少しでも触れておけば、小学校から中学校へのつながりがスムーズになるという理由なのだろうかと、勝手に想像しています。

けれども我が子を通して知る小学校の様子からすると、xとyを従来より前倒しで導入することに意味があるのだろうかと思ってしまいます。小学校卒業を控え、娘の担任の先生は、分数が理解できない子に放課後教えるという涙ぐましい努力をしておられます。卒業に伴う様々な準備で非常に忙しいはずなのに。

私の知る限り、小学校中学年で繰り上がりの足し算が理解できない子はいるし、小6で分数・百分率・比といった割合の概念が理解できない子は沢山います。そういう子どもたちがいる集団に、貴重な時間を使ってまで、一斉授業でxとyを教える意味があるのだろうかと思わざるを得ません。

小学校の勉強に付いてこれた子にとっては、xとyに触れさせる意味があるという意見もあるかもしれません。けれども、小学校の過程を「深く」理解できていれば、xとyの扱いは、あまり大きなハードルになるとは思えないのです。そう感じる根拠の一例が4M62です。

問題の概要は、
ケーキ6個と150円のプリン1個の代金は、同じケーキ1個と80円のシュークリーム1個の代金の5倍。ケーキ1個はいくらか?

これをxを使って解いてみます。ケーキの値段をx円とすれば、問題文は、
6x+150=5(x+80)
    =5x+400
従って、x=400-150=250 となり、ケーキは250円です。

この問題のパセリ(当時小3)の答案。

4M62螟ァ_convert_20100212141746

左ページの右半分に、いちごが載ったケーキ1個と80円のシュークリーム1個が描いてあります。シュークリームが丸をふたつ横に並べた形になっていて、ふたつ描いているように見えますが、本人は丸ふたつでシュークリーム1個のつもりです。

その左側に、先ほどの「ケーキ1個+80円のシュークリーム1個」の5倍の値段になる「ケーキ6個と150円のプリン1個」が描いてあります。この時点で、6x+150=5(x+80)と同じ事をしています。

「ケーキ1個+80円のシュークリーム5個=x+80」の5倍は「ケーキ5個+80円のシュークリーム5個=5(x+80)=5x+80×5」になるはずです。これと、先ほどの「ケーキ6個+150円のプリン1個=6x+150」を比べると、ケーキ5個(5x)は共通です。そこで、ケーキ6個のうち5個は囲んであるわけです。残りのケーキ1個+150円のプリン=x+150が80円のシュークリーム5個の値段=80×5に相当することが分かります。つまり、ケーキ5個を囲んで残りと別にすることは、6x+150=5(x+80)を変形させて、x+150=80×5とすることです。

右ページでシュークリーム×5(=80×5)=400、シュークリーム5個-プリン1個=400円-150円を計算して、ケーキ1個250円だと分かりました。これは、上に書いた式 x+150=80×5(=400)を解いて、x=400-150=250としたことと同じです。

初めに書いたように、算数の理解度はバラバラです。それでも集団で授業をしなければなりません。かけ算・割り算でつまずいている子どもが何人もいる教室で、全員に対してxやyを教えるくらいなら、小学校課程が充分理解できた子は文字式の準備として、この種の問題を図を描きながらやればいいし、理解できていない子はつまずいた箇所の概念を含む文章題を図に描くことをしていれば、無理・無駄が無いように思えます。

また、文字式というのは抽象的です。文字式の解き方を知ってしまうと、ケーキをxにしたとたんに、xがケーキだったことも忘れて、式をxについて解くことに専念します。自分の子どもが赤ちゃんだった頃からの事を思い出せば分かるように、人間の思考形態は具象から抽象に進みます。具象的なことが心底納得できていれば、同じ事柄の抽象的表現は以外とすんなり分かるものです。試しに、x、yを習ったパセリに「xというのは例えばこう使うんだよ」と、この4M62を文字式にして見せると、すぐ理解できていました。

×××××を5という一文字で表現できるのも具象→抽象ですし、5g+5cmが不可能だと分かるのも、5g、5cmという抽象的表現のうしろに具象的なものが透けて見えるからです。もし足してしまうなら、具象に裏付けられた安定した感覚が欠けているということです。私はルートとか無理数を習った時に、この不安定な感覚を味わいました。実感がないのに記号操作(計算)はできてしまう。その時の「落ち着かない感じ」からすると、小学生という時期に、実感が伴わない不安定な感覚を不安定なままにしておくのは不健康で、安定した感覚が持てるようにする必要がある気がします。

小学校教育にどこまで抽象的な事項を入れるかは、「心の健康上」慎重に検討すべき事だと思います。

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マラソン大会(4M39)

冬の体育といえば持久走と縄跳び。私は子どもの頃、縄跳びは得意で、普通の前跳びなら900回以上、2重跳びでも数百回跳べたのですが、持久走は苦痛でした。幼い時から貧血だったからだと思うのですが、友達と同じように、外でおおいに遊んでいるのに、すぐ苦しくなって走れなくなっていました。

4M39はハム太郎とチュー助の6kmマラソンの問題です。運動場は1周600m、ハム太郎はチュー助が1周する間に160m先まで走れます。ハム太郎がゴールしてからも走り続けるなら、チュー助がゴールしたとき、ハム太郎はスタートしてから何周するでしょうか。

最近はパセリが小3の時にやった問題をアップしていますが、3年生は、どんぐり文章題がとてもスムーズにできた時期でした。スムーズとは、私が声をかけて促す必要がなかったという意味です。なぜなら、小3では自由勉強ノートというのがあって、時々それを提出することになっていたので、自由勉強=どんぐり文章題 にしていたからです。

パセリ(当時小3)の1枚目。

4m39小

左がハム太郎、右がチュー助。両方ともウサギです。違いはハム太郎はリボンがひとつでウィンクをしていて、チュー助はリボンがふたつで両目をあけているところです。

右ページは運動場。1周400m(上)、6km走るには何周もしなければならない図(下)

2枚目。

4m39小(2)

ハム太郎のせりふは「チュー助、あのさあ、6km行っても私の所まで来てね。」
問題文の内容には関係ないせりふですが、チュー助がゴールするとハム太郎も走るのをやめて待っているので、チュー助はハム太郎の所まで行くというお話を想像したようです。こういう「作り話」を引き出すところも、どんぐり文章題の問題文の魅力です。

ハム太郎とチュー助の絵の下は、チュー助の下が運動場を1周した図、ハム太郎の下が1周+160m走った図。これで2人の速度の違いを図にしています。

右側半分は、400mの運動場を何周したら6㎞になるかという計算です。
400mを6000mになるまでせっせと足しています。160や320を足して計算しようとしてみたものの失敗したので、地道に400mを足して、6000m(6㎞)走るには、1周400mの運動場を15周すると判明。

この部分は、けた数の多い数の割り算を習うと、6000m÷400mと式を立てるであろう箇所です。でも、大人になっいる私達が、実際の計算で6000÷400をするでしょうか?私なら、解答欄に6000÷400の式を書き、実際の計算は400×10=4000、2000(=6000-4000)=400×5で、10+5=15とするだろうと思います。これはパセリがやっていることに近い方法です。なぜ私が6000÷400の実際の計算を上のようにできるか。それは6000÷400の答えが400mを何回足せば6000mになるか(400mに何をかければ6000mになるか)という答えと同じだと分かっているから・・・つまり、割り算の意味が分かっているから、ということになります。ですから、パセリはここで、割り算の意味を体験的に確認していることになります。

3枚目。

4m39小(3)

6㎞するには運動場を15周することが分かったので、チュー助がゴールした後、ハム太郎がどれだけ走るかを計算。160mを15回足して2400m、つまり、運動場6周。従って、ハム太郎は15周(=6㎞)+6周=21周。

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無い物をイメージする(4M95)

今回の問題の概要は、
缶入りクッキーを缶ごと量ると200000gで、クッキーを10/13食べてから再び量ると100010gの時、缶だけの重さは何gでしょうか。

どんぐり文章題の低学年向け問題では、問題文の通りに描けば、自然に答えが出てくる問題が多いのですが、学年が上がるにつれ、絵の描き方工夫しないと答えが出なくなってきます。この問題では、食べて無くなったクッキーに考えが及ばないと(イメージできないと)解けません。缶だけの重さを知りたいのに、問題文に出てくる重さは、どちらも缶+クッキーの重さだからです。

パセリ(当時小3)の1枚目。

4m95小

問題文の通りに絵図を描いています。はかりはデジタル、おん・おふ(オン・オフ)のスイッチが付いています。我が家にあるはかりを真似て描いています。余談ですが、はかりはデジタルより針のある昔ながらのタイプの方が、重さが視覚的に表現されるので、わかりやすさから言っても、子どもの学力向上のためにもいいだろうと思います。1gの狂いも許されない料理を作るなら別ですが。

左が食べる前の計量、右が食べた後の計量です。左にクッキー13個、右に3個描いています。でも、これだけでは解けません。食べて無くなった10/13のクッキーが絵になっていないからです。

食べて無くなったクッキーはどうすれば絵になるでしょうか。問題文に素直に描くとすれば、2回の計量の間に、10/13のクッキーを食べているお友達の絵でも入れることになると思います。パセリはそうしませんでした。でも、左右の缶の中に、クッキーが入る13の区切りを入れています。それによって、右の3/13のクッキーが入った缶の絵から、無くなった10/13のクッキーを意識できたのだと思います。

そこで描いた2枚目。

4m95小(2)

13/13-3/13=10/13の絵図。絵図で引き算を描くと、引き算の結果はクッキー10/13の重さで、そこには缶の重さが含まれないことがはっきり分かるところも大事なポイントです。缶だけの重さを出したいのに、クッキーと缶がなかなか分かれてくれないところがやっかいだからです。筆算で引き算して、クッキー10/13の重さを出しました。

次に、10/13の重さから初めのクッキー(=13/13)の重さを出します。

4m95小(3)

10/13の重さを10で割って1/13の重さを出し、それを13倍して初めのクッキーの重さが出てきました。割り算の書き方が、足し算・引き算・かけ算の筆算のようになっています。割り算だけ書き方が違うことに抵抗があったのか、よくこのような書き方をしていました。割り算の筆算は右に書いてあります。でも、その筆算から、ひとケタずつかけ算・引き算をして計算したのではなく、99990を10で割ると9999になると分かっていることが見て取れます。9999×13の計算は、9999×3の答えと、すでに出ている99990(10/13の重さ=9999×10)を足して出しています。

最後に、

4m95小(4)

初めのクッキー+缶の重さから、クッキーの重さを引いて、缶だけの重さが分かりました。

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数の抽象化(2M00)

子どもの頃不思議に感じていたことがあります。ひとつを表すのに1を使うのはいいとして、ふたつを表すのに、なぜ2という「ひと文字」でいいのか。今、振り返れば、具象から抽象への境目を経験していたのだと思います。

今回の問題は、ミントが抽象的にとらえ、パセリが具象的にとらえていた例です。

問題文の概要は、
1本のひまわりに5輪の花が咲き、花には6個ずつ種が出来る。では、ハム次郎が60個の種を食べるには何本のひまわりを準備すればいいか。

まずはミント(当時小3)

2m00.jpg

1本のひまわりに5輪の花を描き、花の中に種の数を数字で記入しています。1本のひまわりからは、6(個)×5=30(個) で、30個の種が出来るので、60個得るには2本のひまわりが必要になります。

次にパセリ(当時 小3の4月)

2m00 (2)

左側に「巨大ひまわりのたねをたべたい」ハム次郎。
右側にひまわり1本の絵。ひまわりには5輪の丸い花が咲き、花の中を6つに分けることで、1輪に5個の種ができることを描いています。種と花以外の楕円は葉っぱです。種を数えた結果、1輪で30個の種が出来ることが分かりました。小3なので、この部分は九九、すなわち、6×5で計算したかも知れません。が、いずれにしても、まだ目標の60個には足りません。いくつ足りないのか、60-30で計算したところ、30個と分かりました。ということは、ひまわりはもう1本あればいいのです。

小3になってだいぶ経っているミントが、種の絵ではなく6という数字を書き、小3になったばかりのパセリが6個の種を具体的に絵で描いたところが面白いと思いました。つまり、人間の数の認識は、パセリのような具体的にとらえることから、ミントのように抽象的記号を使用できるように発達するのだということが、実際に見ることが出来たのです。

「いつまでも絵で描いていて・・・」なんて心配しなくても、どこかの時点で、具体的なことを抽象的記号で書く日が来ます。心配は取り越し苦労だということです。

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直感とは見えること(5M93)

直感とはでたらめな思いつきではありません。瞬間的にアイデアの全体像が認識できることだと思います。部分ではなく全体が分かるので、一目で見えたような状態です。

今回の問題の概要は、
のろ太君が学校から1200m離れた公園に行くために、朝5時に学校を出発し、8時半に公園までの距離の12分の7歩いたとき、最後まで同じ速さで歩くなら、公園に何時に到着するか。

5年生用の易しい分数の問題です。

私は次のように解きました。5時から8時半までは3時間半、すなわち210分。210分で全行程の12分の7歩いたので、12分の1歩くのにかかる時間は、210(分)÷7=30(分) これから歩く距離は全体の12分の5(=12-7)だから、かかる時間は30分×5=150分(
=2時間半)従って、答えは8時半の2時間半後の11時。

ところがパセリ(当時小3)の答案は、

5m93小

右が出発した学校、左が目的地の公園です。
式は一つもありません。描いてみたら12分の1を歩くのにかかる時間は30分だと「見えた」からです。なぜなら、全行程の12分の7歩くのにかかった、5時から8時半までの3時間半は、30分が7つ分だとすぐ分かったからです。このすぐ分かったところが直感です。

図の下の方に、時計が4つ描いてあります。うち3つには文字盤がありませんが、2等分すなわち30分ずつに分けています。一つだけ文字盤も描かれた時計があり、時計の針は8時半をさしています。この絵だけで、5時から8時半までは30分が7つ分だということは一目瞭然です。

そこで、12分の1歩くには30分かかるとわかり、答えが簡単に出てきます。

この問題は、「描けば見える」ことを体験しやすいように、数字が設定されているのだと思います。こういう体験をして、考えるときに「とりあえず描いてみようか」という行動をとるように導こうと意図されている問題だろうと思います。

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Author:ハーモニー108
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1995年早生まれの男の子(ミント)、1997年生まれの女の子(パセリ)の母親です。主として、目からウロコが落ちるステキな子育て・学力養成の理論&実践方法を提供しているどんぐり倶楽部について書いています。

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