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植木算(3M71)

幅を考慮しない木を一直線や円周上に植えて、木と木の間隔・木の本数・植えた長さ全体のうち2つから、残りの一つを求める問題を、一般的な文章題参考書では「植木算」と分類しています。そして、直線上に植える場合は、木と木の間の数=木の数-1、円周上に植える場合は、木と木の間の数=木の数といった式が「重要」学習項目として書かれていたりします。これくらいのことは、絵に描いてみれば簡単に分かることで、重要項目として覚える必要はないと思うのですが。

3M21は植木算の直線上に植える場合と、円周上に植える場合を合体させた問題です。
ここでは木ではなく旗を一直線に5000m間隔で5本立て、その端から端までの長さと同じ円周上に5本の巨大花火を等間隔に置くときの花火と花火の間隔の長さを求めます。

上は問題文通りではないのですが、原文もどんぐり文章題としては、シンプルな方です。立てる物が「旗」から「巨大花火」になっている点が絵心を誘うでしょうか。旗と巨大花火だと、巨大花火の方が絵心を誘いそうですが、パセリは旗の方にひかれました。当時、「世界の国ぐに探検大図鑑」(小学館)という本をなめるように読んでいたからです。学校の「お楽しみ会」のクイズでキプロスの国旗を言い当てたほどです。

ではパセリ(当時小3)の絵図1枚目。

3m71小

5本の旗は左から、インドネシア、日本、モナコ、パラオ、ロシアです。5000m間隔なので、端から端までは20㎞。これは絵を描いても簡単に分かりますが、5本なら手を見れば分かりますね。

インドネシアとモナコの旗が同じじゃないかと驚かれた方は次をご覧ください。

3m71小(3)

愛読書「世界の国ぐに探検大図鑑」です。ここに書いてあることによると、配色は同じですが旗の縦横の比率が違います。モナコが変更を求めたこともあったけれども、インドネシアの旗にもモナコと同じくらい歴史があるので、そのままになっています。また、パラオの国旗は日の丸が手本になっていて、青は太平洋、黄色は国の統一と平和を表すのだそうです。

旗の端から端までの長さ=花火を立てる円周の長さ が分かったので、次は花火を立てる図です。

3m71小(2)

説明の必要もありませんね。見ての通りです。

どんぐり文章題は絵心を誘う文面になっているので、答えに向かって猪突猛進ではなく、このようにゆったり楽しんでできるのが理想的だと思います。・・・というか、楽しんで文章のイメージ化が出来るように、そのような文面になっています。このブログで問題文の概要は分かると思いますが、尾ひれの付いた楽しいオリジナルの文章でやらないことには効果半減だということをお断りしておきます。

また、このブログでは、どんぐり倶楽部の理論について書いていますが、その全容を扱うことは、私には到底できません。ところが、理論を知らないと、洗濯機を冷蔵庫として使うようなトンチンカンな誤りをしかねず、せっかくの文章題が台無しになってしまいます。このブログで興味を持っていただけたら、この稚拙なブログからの断片的情報で済まさないで、理論全体「思考の臨界期」をお読みください。

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知識がないから工夫する(2M06)

ミントが2歳の時のこと。私がレンコンをすり下ろし、小麦粉を混ぜ、揚げダンゴを作っていると、そばにやって来ました。そして、一所懸命言葉を探しながらこういいました。「ママが・・・ママが・・・ママが、お大根、こすって作ったお団子ちょうだいね。」

「レンコン」「すり下ろす」という言葉を知らなかったので、頭をフル回転させて、レンコンを大根と言い換え、「すり下ろす」という動作を「こする」と表現して、自分の言いたいことを伝えたわけです。語彙の少ない2歳児の精一杯の工夫でした。

いわゆる教育熱心な人は、学校で習うより先に先に、子どもを進ませようとしているように思います。けれども、早く知識・スキルを教えてしまうと、算数なら工夫する機会を、理科・社会なら感動をそいでしまうように思います。

今回はミント・パセリともに、先で習う計算のスキルを知らなかったがために工夫した例です。問題の概要は、

フンコロガシ組は毎朝3人で2カ所の公園に行き1人5個ずつのフンを集め、ウンコロガシ組は4人で3カ所の公園に行き1人2個ずつのウンコを集める。1週間で集めたフンとウンコの数はどちらが何個少ないか。計算の式を書いて答えましょう。

この問題文は二通りに解釈できます。複数の公園で集めた合計が5個なり2個なりになったという解釈。もう一つは、一つの公園で5個ずつ、2個ずつ集めたという解釈。前者なら、何故わざわざ公園の数が、それも二つの組で違った数の公園に行ったと問題文に書いてあるのかという疑問が湧きます。後者の解釈なら、なぜ、「それぞれの公園で(1人~個ずつ)」という言葉が入っていないのかひっかかります。どんぐり文章題には時々、こういう問題文があります。どちらの解釈でも構わないということになっています。問題文にあいまいさを持たすねらいは、私にはよく分かりません。日常生活では、こういうあいまいな表現をすることがあるということを意識させるためなのでしょうか?

まずはミント(当時小3)。

2m06.jpg

問題文の解釈は、複数の公園で集めた合計が2個、5個になるという方です。ですから、公園の数は考える必要なしという方針で解いています。また、「計算の式を書いて答えましょう」に引っ張られて、図を描いていません。

上の3つの式がフンコロガシ組が集めたフンの数を出す式です。
5×3=15 は3人が5個ずつなので、1日に15個集めることを求めた式です。次に、1週間に集めた数を出したいので、15×7をしなければなりません。ところが、このかけ算の計算方法が分からないので、工夫して15×7を5×3×7として考え、
5×7=35 35×3=105
として計算しています。5×7なら九九で出来るし、35×3は35を3回足して計算できます。
式は考え方を書くためのものですから、本来なら、計算できなくても15×7=105と書き、実際の計算は、上のようにすればいいのですが、そういう使い分けを知らないので、考え方ではなく、実際の計算方法を式で書いてしまっています。けれども、使い分けは少し学年が上がってから教えれば、すぐに出来ることです。それよりも、計算できない15×7が5×3×7と同じ結果になると理解していることに、理解の深さを感じました。

次にパセリ(当時小2)の1回目。

2m06 (2)

パセリは5個ずつ、2個ずつという部分を、ひとつの公園で1人が5個ずつ、2個ずつと解釈しています。そこで、フンコロガシ組は1人が5個1つの公園でとフン5個入りの袋の絵を描き、2つの公園で3人が集めるので、10個×3の袋の絵×7と描いています。けれども、その先に進めませんでした。

パセリ(当時小2)の2回目。

2m06 (3)

左側に、フンコロガシ組の3人の絵。その下に「1つの公園で」と書いて、フン5個入りの袋3つの絵。2つの公園で5個ずつ集めると解釈しているので、その下に「2回やる事」と書いてあります。右側には1週間に集めたフン210個を全て描いています。1日分が10個(5個×2つの公園)入り袋3つです。これを1日目から7日目まで描いています。210をどうやって出したかは分かりません。数えたかも知れないし、計算過程を書いた紙を紛失したのかも知れません。

次はウンコロガシの方です。

2m06 (4)

こちらは袋の中身を全部描かず、袋の中に集めた数6を数字で書き込んでいます。こちらは1週間に集めた数の出し方が次の写真で分かります。

2m06 (5)

1日に1人が集める数は6、4人いるので合計は 6個×4人=24個 1週間分は、24個の7倍。でも、24×7は計算方法が分からないので、24を7回、筆算して足しています。九九を習ったからすぐ2桁の数が入るかけ算の方法を教えてしまうと、この工夫をする機会が無くなってしまいます。とても勿体ないと思います。

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何回分か何回か(2M08)

小学校低学年にとって区別が難しい言いまわしがあります。何番目、何回分、あといくつなどです。今日が12月29 日として、「もういくつ寝るとお正月でしょう」と考える場合。29、30、31、1(正月)とカレンダーを部分的に書いて、4つ数字が並んだから4つではありません。寝るのは各日付の間にあるので、間がいくつあるかを数えなければなりません。間を数えられるということは、29日と30日の間に1回寝て、30日と31日の間に1回寝て・・・という具合に、具体的にイメージできているということです。「今、夜が明けました。29日の朝です。元日の午後の新年会まで、あと何回朝食を食べるでしょう」なら、また別のイメージを描けなければなりません。ややこしい言葉の意味も、具体的な絵や図に描くと一番はっきりと理解できるだろうと思います。

これに似ているのが2M08です。問題の概要は、
1回の燃料補給で8㎝進めるエンジン付きスケートボードで72㎝先に行くには何回燃料補給が必要か。出発前には1回分の燃料が入っているとする。

まずミント(当時小3)。

2m08.jpg

1回分の燃料でひと山走るように描いています。相変わらず、素っ気ない図ではありますが、この図のいいところは、山と山の間、すなわち給油した時に数字(何回目の給油か)を記入しているところだと思います。聞かれていることが給油回数であることをはっきり意識しています。加えて、一つ目の山と山の間が1になっているので、出発前に既に1回分の燃料が入っていることも読み落としていません。味気ない図だとはいえ、給油という動作のイメージが浮かんでいることが分かります。

次にパセリ(当時小2)

2m08 (2)

1回分の燃料で8㎝進むという条件をまず上に描いています。
ところが、そのあとで失敗しています。上記の条件を描いた図をいくつつなげれば72㎝になるかというこにしか意識がいっていません。従って、初めに1回分の燃料が入っているところまで頭が回らず、1回分が9つで、9回となってしまいました。

この兄妹シリーズでは、文章題のやり方を私がまずまず分かってからやった、妹(パセリ)の方がよくできている場合が多いのですが、今回はお兄ちゃんの方に軍配が上がりました。

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僕の4割と君の2割(5M54)

トルコの首都アンカラで小学校低学年のお子さんたちとどんぐり文章題をしておられるアンカラママさんという方がおられます。日本語とトルコ語でブログを書いておられます。

アンカラママさんのブログ
 日本語:アンカラママの子育て 
トルコ語:Japon matematik blog

「アンカラママの子育て」には考えさせられる記事がたくさんあります。アンカラママさんの息子さんは、小学校の方針に従っていたところ、ストレスでチックが出たり椅子から転がり落ちたそうです。小学校の教育手法の問題点をついた記事を拾ってみると、
 大量の宿題:2009年3月17日、4月5日、5月13日
 字の練習:2009年9月23日
 スピード音読:2009年5月30日
などがあります。人格形成期である小学生に対してされる教育は、本当に注意深く手法を選ばないといけないことが分かります。「たくさんやれば」「速くできれば」と安易に学習方法を決めてはならないことが、素人の私にもよく伝わってきます。

アンカラママさんのブログ2つの内容は異なっていて、トルコ語の方は、教育問題、どんぐり倶楽部の理論、どんぐり文章題の紹介などになっています。私のブログの2009年9月14日の記事「感情教育(人間らしさを育てるために)」の一部もトルコ語訳して載せてくださっています。私がどんぐり倶楽部の理論が優れていると思う点は、単なる頭がいい子の育て方なのではなく、健全な人格形成のための納得できる理論になっていることです。その意味で、「感情教育」の記事は、このブログで最も伝えたいことでもあります。参照していただけると幸いです。

アンカラママさんのお子さんは小学校低学年なので、どんぐり文章題の高学年向き問題を解いた例が無いということで、パセリの解答を提供しています。以前、4M09の解答を載せていただいたのですが、今度は5M54をアップしてくださいました。解答の写真はトルコ語ブログ2009年Ocak 9日付けの記事、私がアンカラママさんにメールで送った解説は日本語ブログの2010年1月10日付けの記事です。アンカラママさんのブログと併せてお読みください。

この問題は~割を扱います。問題を要約すると、
ムーリー君とローリー君が赤庭、青庭、白庭に紫陽花の葉を集めていて、ムーリーは集めた葉の4割を赤庭に、5割を青庭に、残りを白庭に集め、ローリーは2割を赤、3割を青、残りを白に集める。赤に集まった葉はローリーのがムーリーの2倍の時、ムーリーの白庭の葉はローリーの赤庭の葉の何倍か?

私がメールで、5M95に同じ問題があると書いてしまいましたが、改めて見ると違っていました。でも、5M95も~割の問題で、よく似ています。どんぐり文章題は各学年100題ありますが、全てする必要はなく、目安としては半分程度でよいと思います。けれども、重要な問題は、類似問題がたくさん入っているので、半分もやると必ず目にするしかけになっています。

さて、この問題を1度目にやったのは小3の末、2度目にやったのが小4の初夏で、2度目に解けました。葉っぱを描いている1度目の絵図は、左から赤、青、白庭で、2度目の図は左から白、赤、青庭になっています。

~割という表現自体は、スーパーのチラシなどで~割引という形で、目にすることが多いと思います。けれども、~割という表現で大事なのは「何が10割」かです。ジャガイモもニンジンも1割引でも、もとの値段が違えば、ジャガイモの値段の1割=ニンジンの値段の1割 ではありません。1割で表される実数(値段)が異なる事を意識しなければならない。ここが、~割のポイントでしょう。ところが、この問題では、もう一段階ややこしくなっています。赤庭に集まった葉を比べると、ローリーの葉がムーリーの葉の「2倍」になっている点です。ここが「同じ」ならだいぶ易しくなるのですが。従って、問題文を慎重に読み取らなくてはなりません。

1回目は案の定、ここにひっかかり、ムーリーの4割=ローリーの2割としてしまいました。加えて、このデータをもとに計算したところ、~倍という表現の~のところが1より小さくなることに戸惑って、~を1より大きくするために、「ムーリーがローリーの何倍か」という問題文を勝手に、「ローリーはムーリーの何倍か」に変更して答えました。ここは、~倍という表現をまだ習っていない小3の段階では無理からぬことだと思いました。日常生活では0.3倍とか1/4倍という表現は、あまり使いませんから。

2回目にやったときは、~倍の~のところに1より小さい数が来ることもあり、それはどういう意味かを理解していたので戸惑いませんでした。ムーリーの4割×2=ローリーの2割 という点にも注意が行き届いていました。図の描き方も、各庭をムーリーの部分とローリーの部分に分けて、比べやすくする工夫をしています。

~倍の~が1より小さくてもいいことを理解したのは、どんぐり倶楽部の算数教材「これだけ算数」を見ていたからではないかと推測しています。この教材は、算数で使われる概念を理解するためのものですが、これを使って私が「教える」ということはしませんでした。時々見ているだけで、子どもが「あっ、そうか」と概念を獲得できるように作られているからです。

日常生活が便利になってボタン一つで出来ることが多くなり、子ども達が集団で走り回って遊ぶ機会が少なくなり、実体験が貧相になっている現状の中で、割合の概念を一斉授業で一斉に分からせるのは非常に難しくなっていると思います。「あっ、そうか」に導くために、教えなくても何度も目にしていれば、すとんと腑に落ちるときが来る、学校のペースでなく、子ども自身のペースで理解が出来るように作られた教材もいいものだなと感じています。

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低学年の準備学習(2M21)

この問題の概略は、「アリンコのチビチビは1歩が3㎜、チョビチョビは1歩が5㎜で同時に90㎝先の場所に出発し、どちらも2秒1歩で進むとき、どちらが何秒遅く辿り着くか」というものです。

この問題文を比で表すと、
チビチビは、1歩:3㎜:2秒=?歩:90㎝:?秒
チョビチョビは、1歩:5㎜:2秒=?歩:90㎝:?秒
となり、2人の?秒の部分を比較するということです。比は6年生の単元ですが、どんぐり文章題には、この種の問題が低学年向きからたくさんあります。低学年から「比」という言葉を知らずに、何度もこのような問題をするので、6年生で「比」という言葉を習ったときに、すんなり理解できます。どんぐり倶楽部では、このような状態になるための学習を、「先取り学習」とは区別して、「準備学習」と呼んでいます。別の例を挙げれば、かけ算を習う前に、足し算を繰り返して計算することも準備学習です。これをやっておけば、かけ算を習ったときに、かけ算の意味も便利さも、すぐに納得できます。

この問題の場合、チョビチョビは扱いやすくなっています。1歩5㎜2秒なので、2歩1㎝4秒となり、これを90倍すれば、90㎝進むのに要する時間が分かります。

やっかいなのはチビチビです。この問題は2Mなので、一応2~3年生がやると想定すると、5㎜を何倍すれば90㎝になるかを求めるには、ひと工夫必要です。

まず、ミント(当時小3)の場合。

2m21.jpg


写りが悪くて申し訳ありません。上がチョビチョビ、下がチビチビです。問題文にはチビチビが先に出てくるのに、考えるときはチョビチョビを先にやっているのは、やはり、こちらの方が簡単だからでしょう。

上のチョビチョビの進む線の左端に、1㎝・2歩・4秒、右端に360びょう、真ん中に進む線の長さ90㎝を記入しています。簡単に所要時間360秒が出たようです。

問題のチビチビの方は、30歩単位で目盛りを入れて考えています。ところが、初めに30歩にかかる時間を一ケタ間違えて、600秒としてしまったので、正解には至りませんでした。

次にパセリ(当時小2)の1枚目。

チビチビは1歩3㎜なので、3㎝=10歩と書いてみました。
チョビチョビは1歩5㎜なので、1㎝=2歩と書き、続けて90㎝=180歩と書いています。

2m21 (2)

2枚目。

2m21 (3)

チビチビの90㎝が何歩になるか、地道に3㎝10歩を足して出そうとしています。6㎝20歩、9㎝30歩・・・。18㎝の所で80歩にしてしまいましたが、気付かずにそのまま24㎝までやっています。90㎝までやるのは大変だと思ったのか、ここで足し算戦法を中断。

3枚目。

2m21 (4)

チビチビに、実際に歩いてもらいました。一歩を小さい山形で描き、3㎝、6㎝、9㎝と3㎝きざみで距離を記入。その結果、100歩で30㎝だと判明。ということは、その3倍の90㎝は、100×3=300歩 だと分かりました。

4枚目。

2m21 (5)

2秒で1歩という条件を適用。1枚目で分かったように、チョビチョビは90㎝が180歩なので、所要時間は歩数180の2倍。2年生なので、180×2という計算の方法が分かりませんが、かけ算の意味は分かっています。2倍するとは、同じものを2回足すことです。そこで、180+180=360(秒) 同様に、チビチビは90㎝が300歩なので、300+300=600(秒)

あとは引き算を 600-360をして所要時間の差を出し、チビチビの方が240秒遅いと分かりました。

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ハーモニー108

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1995年早生まれの男の子(ミント)、1997年生まれの女の子(パセリ)の母親です。主として、目からウロコが落ちるステキな子育て・学力養成の理論&実践方法を提供しているどんぐり倶楽部について書いています。

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